Arenenud, nüri, vertikaalne ja mittearenenud: geomeetrianurkade tüübid. Nurkade mõiste ja liigid Kolm lahtivolditud nurka

Õpilased saavad tuttavaks nurga mõistega Põhikool. Aga kui geomeetrilist kujundit, millel on teatud omadused, hakatakse seda õppima geomeetria 7. klassist. Näib, üsna lihtne kujund, mida saab tema kohta öelda. Kuid uusi teadmisi omandades saavad koolilapsed üha enam aru, et nad saavad selle kohta üsna huvitavaid fakte teada.

Kokkupuutel

Kui uuritud

Kooli geomeetria kursus on jagatud kaheks osaks: planimeetria ja stereomeetria. Igaühel neist on märkimisväärne tähelepanu antakse nurkadele:

• Planimeetrias antakse nende põhikontseptsioon ja tutvustatakse nende tüüpe suuruse järgi. Iga kolmnurga tüübi omadusi uuritakse üksikasjalikumalt. Õpilaste jaoks on tekkimas uued definitsioonid - need on geomeetrilised kujundid, mis on moodustatud kahe sirge ristumiskohas üksteisega ja mitme sirge ristumiskohas ristiga.
• Stereomeetrias uuritakse ruumilisi nurki - kahe- ja kolmetahulisi.

Tähelepanu! Selles artiklis käsitletakse kõiki planimeetria nurkade tüüpe ja omadusi.

Definitsioon ja mõõtmine

Õppima asudes tehke esmalt kindlaks mis on nurk planimeetrias.

Kui võtame tasapinnal teatud punkti ja tõmbame sellest kaks suvalist kiirt, saame geomeetrilise kujundi - nurga, mis koosneb järgmistest elementidest:

• tipp – punkt, kust kiirid tõmmati, tähistatakse ladina tähestiku suure tähega;
• küljed on tipust tõmmatud poolsirged jooned.

Kõik elemendid, mis moodustavad kujundi, mida me kaalume, jagavad tasapinna kaks osa:

• sisemine - planimeetrias ei ületa 180 kraadi;
• välised.

Nurkade mõõtmise põhimõte planimeetrias selgitatakse intuitiivselt. Alustuseks tutvustatakse õpilastele pööratud nurga mõistet.

Tähtis! Nurka nimetatakse arenetuks, kui selle tipust väljuvad pooljooned moodustavad sirge. Arenemata nurk on kõik muud juhtumid.

Kui see on jagatud 180 võrdseks osaks, siis on tavaks lugeda, et ühe osa mõõt on võrdne 10-ga. Sel juhul öeldakse, et mõõtmine toimub kraadides ja sellise joonise kraadimõõt on 180 kraadid.

Peamised tüübid

Nurkade tüübid on jagatud selliste kriteeriumide järgi nagu kraadid, nende moodustamise laad ja allpool esitatud kategooriad.

Suuruse järgi

Võttes arvesse suurust, jagatakse nurgad järgmisteks osadeks:

• laiendatud;
• sirge;
• nüri;
• vürtsikas.

Millist nurka nimetatakse voltimata, esitati eespool. Defineerime otsese mõiste.

Seda saab saada, jagades laiendatud kaheks võrdseks osaks. Sel juhul on lihtne vastata küsimusele: mitu kraadi on täisnurk?

Jagage 180 kraadi voltimata 2-ga ja saame selle täisnurk on 90 kraadi. See on suurepärane kujund, kuna sellega on seotud paljud geomeetria faktid.

Sellel on ka tähistuses oma omadused. Joonisel täisnurga näitamiseks tähistatakse seda mitte kaare, vaid ruuduga.

Nurki, mis saadakse sirgjoone jagamisel suvalise kiirega, nimetatakse teravaks. Loogiliselt järeldub, et teravnurk on väiksem kui täisnurk, kuid selle mõõt erineb 0 kraadist. See tähendab, et selle väärtus on 0 kuni 90 kraadi.

Nürinurk on suurem kui täisnurk, kuid väiksem kui sirgnurk. Selle kraadimõõt varieerub vahemikus 90 kuni 180 kraadi.

Selle elemendi saab jagada erinevad tüübid kõnealustest figuuridest, välja arvatud voltimata.

Sõltumata sellest, kuidas pööramata nurk jagatakse, kasutatakse alati planimeetria põhiaksioomi - "mõõtmise põhiomadust".

Kell nurga jagamine ühe talaga või mitu, on antud kujundi kraadimõõt võrdne nende nurkade mõõtmete summaga, milleks see on jagatud.

7. klassi tasemel lõpevad nurgatüübid nende suuruse järgi. Kuid eruditsiooni suurendamiseks võime lisada, et on ka teisi sorte, mille kraadimõõt on suurem kui 180 kraadi. Neid nimetatakse kumerateks.

Joonised joonte ristumiskohas

Järgmised nurgatüübid, mida õpilased tutvustavad, on elemendid, mis on moodustatud kahe sirge ristumiskohas. Üksteise vastas asetsevaid figuure nimetatakse vertikaalseks. Nende eripära on see, et nad on võrdsed.

Sama joonega külgnevaid elemente nimetatakse külgnevateks. Nende omadust kajastav teoreem ütleb seda külgnevad nurgad annavad kokku 180 kraadi.

Elemendid kolmnurgas

Kui vaadelda kujundit kolmnurga elemendina, jagatakse nurgad sise- ja välisnurgad. Kolmnurk on piiratud kolme segmendiga ja koosneb kolmest tipust. Nurgad, mis asuvad kolmnurga sees igas tipus, on nimetatakse sisemiseks.

Kui võtta ükskõik milline sisemine element mis tahes tipus ja pikendada mis tahes külge, siis moodustunud ja sisemise nurgaga külgnevat nurka nimetatakse väliseks. Sellel elementide paaril on järgmine omadus: nende summa on 180 kraadi.

Kahe sirge ristumiskoht

Joonte ristumiskoht

Kui kaks sirget ristuvad ristiga, moodustuvad ka nurgad., mida tavaliselt jaotatakse paarikaupa. Igal elemendipaaril on oma nimi. See näeb välja selline:

• sisemine risti lamamine: ∟4 ja ∟6, ∟3 ja ∟5;
• sisemine ühepoolne: ∟4 ja ∟5, ∟3 ja ∟6;
• vastavad: ∟1 ja ∟5, ∟2 ja ∟6, ∟4 ja ∟8, ∟3 ja ∟7.

Juhul, kui sekant lõikub kahte sirget, on kõigil neil nurkade paaridel teatud omadused:

1. Sisemine risti lamamine ja vastavad kujundid on omavahel võrdsed.
2. Sisemised ühesuunalised elemendid annavad kokku kuni 180 kraadi.

Uurime geomeetrias nurki, nende omadusi

Nurkade tüübid matemaatikas

Järeldus

See artikkel tutvustab kõiki peamisi nurgatüüpe, mida planimeetrias leidub ja mida õpitakse seitsmendas klassis. Kõigil järgnevatel kursustel on kõigi vaadeldavate elementidega seotud omadused aluseks geomeetria edasisele uurimisele. Näiteks õppimisel peate meeles pidama kõiki nurkade omadusi, mis moodustuvad kahe paralleelse sirge lõikuval põiksuunaga. Kolmnurkade tunnuste uurimisel on vaja meeles pidada, millised on külgnevad nurgad. Siirdudes stereomeetriale, uuritakse ja konstrueeritakse planimeetriliste kujundite põhjal kõiki mahulisi kujundeid.

Alustuseks määratleme, mis on nurk. Esiteks, see on Teiseks, selle moodustavad kaks kiirt, mida nimetatakse nurga külgedeks. Kolmandaks, viimased väljuvad ühest punktist, mida nimetatakse nurga tipuks. Nende tunnuste põhjal saame luua definitsiooni: nurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kahest ühest punktist (tipust) väljuvast kiirest (küljest).

Neid klassifitseeritakse kraadiväärtuse, üksteise suhtes paikneva asukoha ja ringi suhtes. Alustame nurkade tüüpidega nende suuruse järgi.

Neid on mitut sorti. Vaatame iga tüüpi lähemalt.

Nurka on ainult neli peamist tüüpi - sirged, nürinurgad, teravnurgad ja sirged nurgad.

Otse

See näeb välja selline:

Selle kraadimõõt on alati 90 o, teisisõnu täisnurk on 90 kraadine nurk. Need on ainult nelinurkadel nagu ruut ja ristkülik.

Nüri

See näeb välja selline:

Kraadimõõt on alati üle 90 o, kuid alla 180 o. Seda võib leida nelinurkades, nagu romb, suvaline rööpkülik ja hulknurki.

Vürtsikas

See näeb välja selline:

Teravnurga kraadimõõt on alati väiksem kui 90°. Seda leidub kõigis nelinurkades, välja arvatud ruut ja mis tahes rööpkülik.

Laiendatud

Voldimata nurk näeb välja selline:

See ei esine hulknurkades, kuid pole vähem oluline kui kõik teised. Sirgenurk on geomeetriline kujund, mille kraadimõõt on alati 180º. Saate sellele tugineda, tõmmates selle tipust igas suunas ühe või mitu kiirt.

On mitmeid teisi väiksemaid nurkade tüüpe. Neid koolides ei õpita, kuid nende olemasolust on vaja vähemalt teada. On ainult viis teist tüüpi nurki:

1. Null

See näeb välja selline:

Nurga nimi ise näitab juba selle suurust. Selle sisepind on 0° ja küljed asetsevad üksteise peal, nagu on näidatud joonisel.

2. Kaldus

Kaldnurk võib olla sirgnurk, nürinurk, teravnurk või sirgnurk. Selle põhitingimus on, et see ei tohiks olla võrdne 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Kumer

Kumerad nurgad on null-, sirg-, nüri-, terav- ja sirgnurgad. Nagu te juba aru saite, on kumera nurga aste vahemikus 0 ° kuni 180 °.

4. Mittekumer

Nurgad, mille kraadimõõt on 181° kuni 359° (kaasa arvatud), ei ole kumerad.

5. Täis

Täielik nurk on 360 kraadi.

Need on kõik tüüpi nurgad vastavalt nende suurusele. Nüüd vaatame nende tüüpe vastavalt nende asukohale lennukis üksteise suhtes.

1. Täiendav

Need on kaks teravnurka, mis moodustavad ühe sirge, s.o. nende summa on 90 o.

2. Kõrval

Külgnevad nurgad tekivad, kui kiir lastakse läbi voltimata nurga või õigemini selle tipu suvalises suunas. Nende summa on 180 o.

3. Vertikaalne

Vertikaalsed nurgad tekivad siis, kui kaks sirgjoont ristuvad. Nende kraadid on võrdsed.

Liigume nüüd ringi suhtes paiknevate nurkade tüüpide juurde. Neid on ainult kaks: keskne ja sissekirjutatud.

1. Kesk

Kesknurk on nurk, mille tipp on ringi keskel. Selle kraadimõõt on võrdne külgede all oleva väiksema kaare kraadimõõduga.

2. Sissekirjutatud

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed seda lõikuvad. Selle kraadimõõt on võrdne poole kaarega, millel see toetub.

See on nurkade jaoks. Nüüd teate, et lisaks kõige kuulsamatele - teravatele, nüritele, sirgetele ja paigutatud - on geomeetrias palju muud tüüpi.

Selles artiklis käsitletakse üht peamist geomeetrilist kujundit - nurka. Pärast selle kontseptsiooni üldist sissejuhatust keskendume sellise kujundi konkreetsele tüübile. Sirgenurk on geomeetrias oluline mõiste, mis on selle artikli põhiteema.

Sissejuhatus geomeetrilisse nurka

Geomeetrias on terve hulk objekte, mis on kogu teaduse aluseks. Nurk viitab neile ja on määratletud kiiri mõistet kasutades, nii et alustame sellest.

Samuti peate enne nurga enda määramist meeles pidama mitut geomeetrias võrdselt olulist objekti - see on punkt, tasapinna sirgjoon ja tasapind ise. Sirge on lihtsaim geomeetriline kujund, millel pole algust ega lõppu. Tasapind on pind, millel on kaks mõõdet. Noh, kiir (või pooljoon) geomeetrias on osa sirgest, millel on algus, kuid mitte lõpp.

Neid mõisteid kasutades saame väita, et nurk on geomeetriline kujund, mis asub täielikult teatud tasapinnal ja koosneb kahest lahknevast ühise päritoluga kiirest. Selliseid kiiri nimetatakse nurga külgedeks ja külgede ühine algus on selle tipp.

Nurkade tüübid ja geomeetria

Teame, et nurgad võivad olla täiesti erinevad. Seetõttu on veidi allpool väike klassifikatsioon, mis aitab teil paremini mõista nurkade tüüpe ja nende põhiomadusi. Niisiis, geomeetrias on mitut tüüpi nurki:

1. Täisnurk. Seda iseloomustab väärtus 90 kraadi, mis tähendab, et selle küljed on alati üksteisega risti.
2. Terav nurk. Need nurgad hõlmavad kõiki nende esindajaid, mille suurus on alla 90 kraadi.
3. Nürinurk. Siin võivad kõik nurgad olla vahemikus 90 kuni 180 kraadi.
4. Avatud nurk. Selle suurus on rangelt 180 kraadi ja väliselt moodustavad selle küljed ühe sirge joone.

Sirgenurga mõiste

Nüüd vaatame pööratud nurka üksikasjalikumalt. Seda juhul, kui mõlemad pooled asuvad samal sirgel, mis on joonisel veidi madalamal selgelt näha. See tähendab, et võime kindlalt väita, et pööratud nurga all on selle üks külg sisuliselt teise jätk.

Tasub meeles pidada tõsiasja, et sellist nurka saab alati jagada, kasutades selle tipust väljuvat kiirt. Selle tulemusena saame kaks nurka, mida geomeetrias nimetatakse külgnevateks.

Samuti on voldimata nurgal mitmeid funktsioone. Neist esimesest rääkimiseks peate meeles pidama mõistet "nurga poolitaja". Tuletage meelde, et see on kiir, mis jagab mis tahes nurga täpselt pooleks. Mis puutub voltimata nurka, siis selle poolitaja jagab selle nii, et moodustub kaks 90-kraadist täisnurka. Seda on väga lihtne matemaatiliselt arvutada: 180˚ (pöördenurga kraad): 2 = 90˚.

Kui jagame pööratud nurga täiesti suvalise kiirega, siis saame alati kaks nurka, millest üks on terav ja teine ​​nürinurk.

Pööratud nurkade omadused

Seda nurka on mugav kaaluda, koondades kõik selle peamised omadused, mida me selles loendis tegime:

1. Pööratud nurga küljed on paralleelsed ja moodustavad sirgjoone.
2. Pööramisnurk on alati 180˚.
3. Kaks kõrvuti asetsevat nurka moodustavad koos alati sirge nurga.
4. Täisnurk, mis on 360˚, koosneb kahest lahtivolditud nurgast ja võrdub nende summaga.
5. Pool sirgest nurgast on täisnurk.

Seega, teades kõiki seda tüüpi nurkade omadusi, saame neid kasutada mitmete geomeetriliste ülesannete lahendamiseks.

Probleemid pööratud nurkadega

Et näha, kas olete sirge nurga mõistest aru saanud, proovige vastata järgmistele küsimustele.

1. Kui suur on sirge nurk, kui selle küljed moodustavad vertikaalse joone?
2. Kas kaks nurka on kõrvuti, kui esimene on 72˚ ja teine ​​on 118˚?
3. Kui täisnurk koosneb kahest pöördnurgast, siis mitu täisnurka sellel on?
4. Sirge nurk jagatakse kiirtega kaheks nurgaks nii, et nende kraadid on vahekorras 1:4. Arvutage saadud nurgad.

Lahendused ja vastused:

1. Pole tähtis, kuidas pööratud nurk asub, on see definitsiooni järgi alati 180˚.
2. Külgnevatel nurkadel on üks ühine külg. Seetõttu peate nende koos moodustatava nurga suuruse arvutamiseks lihtsalt lisama nende kraadimõõtude väärtuse. See tähendab 72 +118 = 190. Kuid definitsiooni järgi on vastupidine nurk 180˚, mis tähendab, et kaks etteantud nurka ei saa olla kõrvuti.
3. Sirge nurk sisaldab kahte täisnurka. Ja kuna tervel on kaks lahtivolditud joont, siis on 4 sirgjoont.
4. Kui nimetada soovitud nurki a ja b, siis olgu x nende proportsionaalsuskordaja, mis tähendab, et a=x ja vastavalt b=4x. Pööramisnurk kraadides on 180˚. Ja vastavalt selle omadustele, et nurga aste on alati võrdne nende nurkade astmemõõtude summaga, milleks see on jagatud mis tahes suvalise kiirega, mis läbib selle külgede vahelt, võime järeldada, et x + 4x = 180˚ , mis tähendab 5x = 180˚ . Siit leiame: x = a = 36˚ ja b = 4x = 144˚. Vastus: 36˚ ja 144˚.

Kui suutsite kõigile neile küsimustele vastata ilma viipadeta ja vastuseid piilumata, siis olete valmis liikuma järgmise geomeetriatunni juurde.

Nurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kahest erinevast ühest punktist lähtuvast kiirest. Sel juhul nimetatakse neid kiiri nurga külgedeks. Punkti, mis on kiirte alguspunkt, nimetatakse nurga tipuks. Pildil on näha nurk koos tipuga punktis KOHTA ja pooled k Ja m.

Nurga külgedele on märgitud punktid A ja C. Seda nurka võib nimetada nurgaks AOC. Keskel peab olema selle punkti nimi, kus nurga tipp asub. On ka teisi tähistusi, nurk O või nurk km. Geomeetrias kirjutatakse sõna nurk asemel sageli spetsiaalne sümbol.

Arenenud ja laiendamata nurk

Kui nurga mõlemad küljed asuvad samal sirgel, nimetatakse sellist nurka laiendatud nurk. See tähendab, et nurga üks külg on nurga teise külje jätk. Allolev joonis näitab laiendatud nurka O.

Tuleb märkida, et iga nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Kui nurk pole lahti volditud, nimetatakse ühte osa nurga sisemiseks piirkonnaks ja teist selle nurga välispiirkonnaks. Allolev joonis näitab väljakujunemata nurka ja tähistab selle nurga välimist ja sisemist piirkonda.

Arenenud nurga korral võib nurga välispiirkonnaks lugeda kumbagi kahest osast, milleks see tasapinna jagab. Võime rääkida punkti asukohast nurga suhtes. Punkt võib asuda väljaspool nurka (välimises piirkonnas), asuda selle ühel küljel või nurga sees (sisemises piirkonnas).

Alloleval joonisel asub punkt A väljaspool nurka O, punkt B asub nurga ühel küljel ja punkt C asub nurga sees.

Nurkade mõõtmine

Nurkade mõõtmiseks on seade, mida nimetatakse kraadiklaasiks. Nurga ühik on kraadi. Tuleb märkida, et igal nurgal on teatud kraadimõõt, mis on suurem kui null.

Sõltuvalt kraadimõõtmisest jagatakse nurgad mitmeks rühmaks.